/Η ιδιαιτερότητα της μαθηματικής σκέψης στον αρχαίο ελληνικό Πολιτισμό

Η ιδιαιτερότητα της μαθηματικής σκέψης στον αρχαίο ελληνικό Πολιτισμό

Σ’ όλο, σχεδόν, τον κόσµο, η ανάπτυξη της αρχαίας ελληνικής σκέψης αποτελεί ένα αξιοθαύµαστο γεγονός. Κάποιοι, µάλιστα, µιλούν για “ελληνικό θαύµα”. Κατ’ επέκταση, µέσα σ’ αυτό το πνεύµα, αναφέρεται και το “ελληνικό θαύµα στα Μαθηµατικά”. Ίσως αυτή η στάση να εκφράζει µια υπερβολική έκπληξη και έναν διογκωµένο ενθουσιασµό. ∆εν προέρχεται, όµως, από µια µυθοπλασία, από ένα πλασµατικό κατασκεύασµα, γιατί απηχεί µια αξιοσηµείωτη ιστορική πραγµατικότητα: την πολιτισµική αναµόρφωση του Αρχαίου Κόσµου, η οποία αποτέλεσε τη µήτρα της σύγχρονης κουλτούρας. Και είναι αλήθεια ότι η πολιτισµική αυτή αναµόρφωση ήταν και είναι το επίκεντρο του ιστορικού ενδιαφέροντος κι ο απώτερος σκοπός µιας πληθώρας µελετών και αναλύσεων του αρχαίου ελληνικού τρόπου σκέψης και συµπεριφοράς. Πρόκειται για µια οπτική γωνία που είναι στενά συνυφασµένη µε τη διαχρονική και ευρύτατα διαδεδοµένη πεποίθηση ότι

Η ευρωπαϊκή σκέψη αρχίζει µε τους αρχαίους Έλληνες.

Αυτή η στάση είναι, όπως φαίνεται, αρκετά ισχυρή, γιατί εµπνέει, ενεργοποιεί και νοµιµοποιεί τους µελετητές της αρχαίας ελληνικής δηµιουργίας. Αποτελεί ταυτόχρονα και το πλαίσιο διαµόρφωσης του θαυµασµού για την πνευµατική και πολιτισµική ανέλιξη των αρχαίων Ελλήνων.

Μέσα σ’ αυτό το υψηλό επίπεδο ενδιαφέροντος και ιστοριογραφικής δυναµικής η ανάπτυξη των αρχαίων ελληνικών Μαθηµατικών κατέχει µια κεντρική θέση. Κι όχι τυχαία, γιατί το συγκεκριµένο είδος επιστηµονικής σκέψης άφησε ανεξίτηλα τα ίχνη του από την Αρχαιότητα µέχρι σήµερα. Στην προκειµένη περίπτωση αξίζει να αναφερθεί η πολύ χαρακτηριστική ρήση του διαπρεπή άγγλου ιστορικού των Μαθηµατικών Sir Thomas L. Heath (1861-1940), όσον αφορά τα “Στοιχεία” του Ευκλείδη, η αντιπροσωπευτικότερη πραγµατεία των αρχαίων ελληνικών Μαθηµατικών:

Κανένα ίσως έργο, εκτός από τη Βίβλο, δεν έχει τέτοια διάδοση

Μια επισήµανση που δεν έχασε την αξία της µέχρι τώρα, στην αρχή, δηλαδή, της 3ης χιλιετίας µ. Χ. Κι αυτό γιατί το διεθνές ενδιαφέρον για το συγκεκριµένο έργο του Ευκλείδη διατηρείται αµείωτο, όπως καταδεικνύει η ανανεωµένη επανέκδοσή του στα γαλλικά, τη δεκαετία του 1990, η βελτιωµένη επανέκδοσή του στα κινεζικά το 1990 και η πρώτη µετάφρασή του στα µογγολικά το 1987.

∗Το κείµενο αυτό αποτελεί µέρος της εισήγησης “Η Ιστορία των Μαθηµατικών ως Συνιστώσα του Μεταγνωστικού Υπόβαθρου των ∆ασκάλων του Σχετικού Μαθήµατος” στο ∆ιήµερο ∆ιαλόγου για τη ∆ιδασκαλία των Μαθηµατικών µε θέµα: Η Ιστορία των Μαθηµατικών ως Μέσο ∆ιδασκαλίας των Μαθηµατικών στο ∆ηµοτικό Σχολείο και το Γυµνάσιο”, που έγινε στις 8 και 9 Μαρτίου 2002 στο Παιδαγωγικό Τµήµα ∆ηµοτικής Εκπαίδευσης του Α.Π.Θ. 1 Βλ. Snell, B.: Η Ανακάλυψη του Πνεύµατος. Ελληνικές Ρίζες της Ευρωπαϊκής Σκέψης, Μορφωτικό Ίδρυµα Εθνικής Τράπεζας, 1984, σελ. 9. 2 Βλ. Καστάνη, Ν. / Τοκµακίδη, Τ.: Η ιστορική κληρονοµιά των “Στοιχείων” του Ευκλείδη στην Ανθρωπότητα, στο βιβλίο: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ∆ΟΚΙΜΙΑ, επιµέλεια ∆. Αναπολιτάνου και Β. Καρασµάνη, εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα, 1993, σελ. 67-92, ειδ. σελ. 67.

Χωρίς αµφιβολία πρόκειται για µια απήχηση του Ευκλείδη σ’ όλα τα γεωγραφικά µήκη και πλάτη του κόσµου και σ’ όλες τις εποχές. Γεγονός που αναδεικνύει όχι µόνο τη δική του διαχρονικότητα και διαπολιτισµικότητα, αλλά και τη σπουδαιότητα όλης της µαθηµατικής κληρονοµιάς του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού. Κι αυτό γιατί η επιστηµονική και ιστορική αξία του έργου του δεν είναι ανεξάρτητη από την ωριµότητα και τη δυναµική του διανοητικού περιβάλλοντος απ’ όπου προήλθε. Με άλλα λόγια, το έργο του Ευκλείδη δεν ήταν, ούτε µπορούσε να είναι αποκοµµένο από την ανάπτυξη της µαθηµατικής σκέψης των αρχαίων Ελλήνων της προ-αλεξανδρινής περιόδου. Θα µπορούσε, µάλιστα, να θεωρηθεί ως η πρώτη αποκορύφωση αυτής της πνευµατικής ανέλιξης.

Είναι αλήθεια ότι οι σκέψεις αυτές διαπερνούν τον επιφανειακό θαυµασµό και φθάνουν σ’ έναν βαθύτερο προβληµατισµό, στο ζήτηµα της συνεκτικότητας των εξατοµικευµένων µαθηµατικών γνώσεων του Αρχαίου Ελληνικού Πολιτισµού. Ανακύπτει, δηλαδή, το ερώτηµα της διαµόρφωσης, τότε, ενός νέου είδους µαθηµατικής σκέψης που διακρίνεται από τα αντίστοιχα είδη των προ-ελληνικών πολιτισµών της Μεσοποταµίας και της Αιγύπτου. Ο προβληµατισµός αυτός µπορεί να τεθεί ως εξής:

Τι χαρακτηρίζει τα αρχαία ελληνικά Μαθηµατικά;

Ποια είναι η ιδιαιτερότητα της µαθηµατικής σκέψης του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού; ∆ίνεται έτσι µια οπτική γωνία για την κατανόηση του χαρακτήρα της µαθηµατικής γνώσης στην Αρχαία Ελλάδα και για την πολιτισµική δικαιολόγησή του. Αυτό σηµαίνει ότι διεγείρεται ένας µεταγνωστικός προβληµατισµός για το επιστηµολογικό και πολιτισµικό παρασκήνιο της ιδιοµορφίας της µαθηµατικής νοοτροπίας και δραστηριότητας των αρχαίων Ελλήνων. Με άλλα λόγια, ανοίγεται ένας δρόµος για τη διείσδυση στο υπόβαθρο της µαθηµατικής σκέψης και συµπεριφοράς του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού, µε προσανατολισµό τα γνωστικά και συλλογικά χαρακτηριστικά κι όχι διαµέσου ενός προπετάσµατος από τεχνοκρατικά επιτεύγµατα και ατοµοκεντρική σπουδαιολογία.

Μια από τις πρώτες ενδείξεις του νέου τρόπου σκέψης την περίοδο της αρχαίας ελληνικής Αναγέννησης, του 6ου π.Χ. αιώνα, είναι η µέτρηση του ύψους της πυραµίδας. Σύµφωνα µε τον Πλούταρχο (περ. 50-130 µ.Χ.) και τον ∆ιογένη Λαέρτιο (3ος αιώνας µ.Χ.) ο Θαλής ο Μιλήσιος (περ. 625-546 π.Χ.) µέτρησε το ύψος της πυραµίδας συσχετίζοντας τη σκιά της µε τη σκιά µιας ράβδου.

Όπως υποδεικνύουν όλες οι ιστορικές ανακατασκευές για το σκοπό αυτό ο µιλήσιος σοφός µέτρησε τη σκιά της πυραµίδας, όταν η σκιά της ράβδου είναι ίση µε το ύψος της, οπότε το µήκος της σκιάς της πυραµίδας θα ήταν όσο και το ύψος της. Από τη µεθόδευση αυτή διαπιστώνεται, χωρίς δυσκολία, ότι το θεωρητικό της υπόβαθρο στηρίζονταν σ’ έναν έµµεσο τρόπο σκέψης. ∆εν αντιµετωπίσθηκε δηλαδή, ούτε µπορούσε να αντιµετωπισθεί, η µέτρηση αυτή µ’ έναν άµεσο τρόπο, λόγου χάρη µε την απ’ ευθείας µέτρηση του συγκεκριµένου ύψους µ’ ένα σχοινί που διαπερνάει κατακόρυφα την πυραµίδα από την
κορυφή µέχρι τη βάση της.

Παρατηρείται λοιπόν ένας ιδιότυπος τρόπος σκέψης και πρωτότυπος, εφ’ όσον δεν έχει σηµατοδοτηθεί κάτι παρόµοιο στην ιστορία των Μαθηµατικών πριν τον Θαλή. Θα πρέπει να σηµειωθεί εδώ ότι το περιστατικό αυτό του έµµεσου τρόπου σκέψης δεν είναι το µοναδικό που αποδίδεται στον Θαλή.

Σύµφωνα µε την δοξογραφική παράδοση, ένα δεύτερο µεθοδολογικά όµοιο πρόβληµα που έλυσε ο µιλήσιος σοφός ήταν η µέτρηση της απόστασης ενός πλοίου από το λιµάνι.

Στην περίπτωση αυτή µια υποθετική ανακατασκευή της συγκεκριµένης λύσης είναι η εξής: χαράσσεται η κάθετη ευθεία ΛΜΑ στη νοητή γραµµή ΛΜ (Λιµάνι-Πλοίο), έτσι ώστε ΛΜ=ΜΑ, στη συνέχεια προσδιορίζεται το σηµείο Π΄ πάνω στην κάθετη ευθεία της ΛΜΑ στο Α και µε την ιδιότητα να φαίνεται απ’ αυτό το Π µέσω του Μ (µ’ άλλα λόγια το Π΄ να είναι
στην ίδια ευθεία µε το Π και το Μ).

Το ερώτηµα που δηµιουργείται, τώρα, είναι: υπάρχουν άλλες ιστορικές µαρτυρίες, ενδείξεις ή εκφάνσεις που να πιστοποιούν τον έµµεσο τρόπο σκέψης στον αρχαίο ελληνικό πολιτισµό και να είναι ιστοριογραφικά ισχυρότερες απ’ αυτές που αποδίδονται στον Θαλή;

Η πιο πειστική περίπτωση είναι η µέτρηση της ακτίνας της γης από τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, τον 3ο αιώνα π.Χ. Πρόκειται για ένα επίτευγµα που ήταν αδύνατον να προκύψει µε άµεσο τρόπο.

Προήλθε µ’ έναν έµµεσο συλλογισµό. Συγκεκριµένα συνδυάστηκε η µέτρηση της γωνίας που σχηµατίζει η κατακόρυφος µε τις προσπίπτουσες ακτίνες του ηλίου (πιθανότατα µε τη βοήθεια του λόγου µιας ράβδου προς τη σκιά της) στην Αλεξάνδρεια, τη στιγµή που οι ακτίνες του ήλιου έπεφταν κατακόρυφα στη Συήνη (σηµερινό Ασσουάν), τη µέτρηση της Απόστασης ΑλεξάνδρειαςΣυήνης και την αξιοποίηση των µαθηµατικών ιδιοτήτων για τις εντός εναλλάξ γωνίες και των ισοσκελών τριγώνων.

Μια επίσης χαρακτηριστική περίπτωση έµµεσου τρόπου σκέψης είναι η συνειδητοποίηση του σφαιρικού σχήµατος της γης. Πρόκειται για µια γνωστική εξέλιξη που πραγµατοποιήθηκε , όπως φαίνεται, µε την αξιοποίηση κάποιων παρατηρησιακών ενδείξεων, όπως π.χ. η σταδιακή απώλεια οπτικής επαφής ενός πλοίου όταν αποµακρύνεται από το λιµάνι, όπου χάνεται πρώτα το σκάφος και µετά το κατάρτι, ή το εσωτερικό τόξο της σελήνης στις διάφορες φάσεις της, ή ακόµη η αλλαγή των αστερισµών µε τη µετατόπιση σε διαφορετικά γεωγραφικά µήκη. Τα πρώτα ίχνη της ιδέας αυτής σηµατοδοτούνται στην προ-πλατωνική περίοδο και καθιερώθηκε την εποχή του Πλάτωνα.

∆ιαφαίνεται λοιπόν ότι ο έµµεσος τρόπος σκέψης διαποτίζει το επιστηµολογικό υπόβαθρο του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού. ∆ύσκολα, όµως, έως αδύνατο µπορεί να αποδοθεί κάτι ανάλογο στους προ-ελληνικούς πολιτισµούς. Περιπτώσεις όπως αυτές που αναφέρθηκαν ήταν µάλλον ασύµβατες µε τους πρώτους µεγάλους πολιτισµούς που δηµιουργήθηκαν στη Μεσοποταµία και στην Αίγυπτο, οι οποίοι χαρακτηρίζονται κύρια από έναν εµπειρισµό και µια αµεσότητα. Έτσι δηµιουργείται το ερώτηµα: Τι µεσολάβησε και άνοιξε ο πνευµατικός εκείνος ορίζοντας που εξέθρεψε τον έµµεσο τρόπο σκέψης;

Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να επισηµανθούν οι αλλαγές στην αρχαία ελληνικά κουλτούρα και συµπεριφορά, που αναµόρφωσαν τη θεωρητική υποδοµή του περιεχοµένου και των διαδικασιών σκέψης.

Τρεις σηµαντικότατες πολιτισµικές καινοτοµίες άλλαξαν τη νοοτροπία και την πνευµατική στάση των αρχαίων Ελλήνων και πρώτα αυτών που ζούσαν στο Ανατολικό Αιγαίο, από τον 6ο π.Χ. αιώνα περίπου. Συγκεκριµένα εµφανίστηκε και εδραιώθηκε ένα νέο είδος διακυβέρνησης και εξουσίας, ένας νέος τρόπος εµπορικών συναλλαγών και ένα νέο µέσο επικοινωνίας.

Μ’ άλλα λόγια πρόβαλαν, γύρω στον 6ο αιώνα π.Χ., τρεις νέες θεσµικές και νοητικές καταστάσεις: η δηµοκρατία, το νόµισµα και το αλφάβητο. Αξίζει να αναλυθούν, λίγο, αυτές οι νέες συνιστώσες του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού. Είναι κοινή αλήθεια ότι ένα από τα κύρια στοιχεία που χαρακτηρίζουν την αρχαία ελληνική κοινωνία, την προ-αλεξανδρινή περίοδο, αποτελεί η δηµοκρατία σε µια σειρά από ελληνικές πόλεις. Και όλοι λίγο-πολύ γνωρίζούν ότι η δηµοκρατία ως σύστηµα διακυβέρνησης, άσκησης εξουσίας και συλλογικής συµπεριφοράς είναι κάτι πολύ διαφορετικό, διαµετρικά αντίθετο, από τα δεσποτικά καθεστώτα των προ-ελληνικών πολιτισµών της Μεσοποταµίας, της Αιγύπτου, της Περσίας, αλλά και αυτών της αρχαϊκής ελληνικής περιόδου. Η ειδοποιός διαφορά τους εκδηλώνεται στον τρόπο άσκησης της εξουσίας.

Στην προκειµένη περίπτωση τα δεσποτικά συστήµατα διακυβέρνησης από µια αµεσότητα στην άσκηση της εξουσίας, του είδους “αποφασίζουµε και διατάσουµε”. Αντίθετα, στις δηµοκρατίες των ελληνικών πόλεων υπήρχαν έµµεσες µόνο δυνατότητες άσκησης της διακυβέρνησης, δια µέσου της συγκατάθεσης και του ελέγχου θεσµοθετηµένων συλλογικών οργάνων.

Πολύ χαρακτηριστικά ο έγκριτος άγγλος ιστορικός Antony Andrewes παρατήρησε ότι “Στην Αθήνα κανένας δεν ασκούσε εξουσία για µεγαλύτερο χρονικό διάστηµα από όσο µπορούσε να πείθει την εκκλησία του δήµου ότι οι απόψεις του είναι σωστές, και ήταν αναγκασµένος να πείθει το ίδιο ή ελαφρώς διαφορετικό ακροατήριο µε την πάροδο του χρόνου, χωρίς διακοπή”.9 Και ο Αγησίλαος Ντόκας συµπληρώνει “οι αρµοδιότητες των ανωτέρων κρατικών αξιωµατούχων ήσαν, εξαιτίας της δύναµης που είχαν η Εκκλησία του ∆ήµου, η Βουλή και τα λαϊκά δικαστήρια, εξαιρετικά περιορισµένες…Ακόµη και ο Περικλής, που είχε συγκεντρώσει ένα πλήθος πολιτικών, κυβερνητικών και στρατιωτικών αρµοδιοτήτων, ήταν κυρίαρχος στην Εκκλησία του ∆ήµου και καθώριζε τις αποφάσεις της µόνο χάρη στη δύναµη της προσωπικότητας του και του λόγου. Η θέση του ήταν νοµικά επισφαλής, γιατί ο ∆ήµος µπορούσε στην επιχειροτονία που γινόταν σε κάθε πρυτανεία να τον αποµακρύνη από το αξίωµα και να τον παραπέµψη σε δικαστήριο”.

Επισηµαίνεται, λοιπόν, όχι µόνο ο έµµεσος τρόπος διακυβέρνησης, αλλά και η αντίστοιχη κοινωνική συµπεριφορά και νοοτροπία των πολιτών της δηµοκρατικής πόλης. Εδώ αξίζει να αναφερθεί ότι η πρώτη δηµοκρατική διακυβέρνηση, που είναι γνωστή, πραγµατοποιήθηκε στη Χίο, γύρω στο 600 π.Χ.

Στο πεδίο, τώρα, των εµπορικών δραστηριοτήτων παρατηρείται ένας σηµαντικός νεωτερισµός στο δυτικό τµήµα της Μικράς Ασίας, κατά τον 7ο αιώνα π.Χ. Ήταν η χρήση του νοµίσµατος ως µέσο συναλλαγών. Η εµφάνιση και η κυκλοφορία των νοµισµάτων “διέλυε”, σύµφωνα µε τον διαπρεπή άγγλο ιστορικό George Thomson, “όλες τις παλιές συνθήκες”,12 γεγονός που δεν ήταν άσχετο µε τις κοινωνικές ανακατατάξεις, ούτε µε τη θεσµοποίηση και λειτουργία των µορφών δηµοκρατικού πολιτεύµατος σε κάποιες ελληνικές πόλεις. Αναφορικά µε το θέµα ο Αριστοτέλης τόνισε, στα Ηθικά Νικοµάχεια, τον διαµεσολαβητικό ρόλο του νοµίσµατος στην ποσοτική εκτίµηση και σύγκριση ετερογενών προϊόντων και έτσι την ανταλλακτική ισοδυναµία ανόµοιων πραγµάτων.

Έχει µάλιστα επισηµανθεί ότι το ζήτηµα αυτό της ισοδυναµίας ανάγεται στους Πυθαγόρειους, που το
αντιµετώπισαν µε τη βοήθεια των αναλογιών. Η ανέλιξη των ανταλλακτικών ισοδυναµιών από το εµπειρικό πλαίσιο του εµπορίου σ’ ένα ευρύτερο πεδίο θεώρησης, όπως για παράδειγµα στις σχέσεις των µηκών χορδής µε τους παραγόµενους µουσικούς ήχους, αντίστοιχα, ή των διαφορετικών πολιτικών δικαιωµάτων και υποχρεώσεων στο δηµοκρατικό πολίτευµα, δεν ήταν άσχετη µε την ανάπτυξη της ισότητας και των αναλογιών στα Μαθηµατικά.

Από την άλλη µεριά οι προ-ελληνικοί πολιτισµοί, όπως και στην αρχαϊκή ελληνική περίοδο, έκαναν τις ανταλλαγές άµεσα, δηλ. είδος µε είδος. Συγκεκριµένα “από πολύ νωρίς στην ιστορία της Μεσοποταµίας χρησιµοποιείται το κυριότερο δηµητριακό, το κριθάρι, σαν µέτρο της αξίας και γενικό ανταλλακτικό µέσο”.

Στην αρχαία Αίγυπτο “χρησιµοποιούνται αρχικά ως µονάδες αναφοράς για τη µέτρηση της ανταλλακτικής αξίας διάφορα είδη-αλυσίδες, φυσερά, σανδάλια κ.ο.κ. Αργότερα θα χρησιµοποιηθεί σαν µέτρο της ανταλλακτικής αξίας ένα σταθερό βάρος µετάλλου, χρυσού, ασηµιού ή και χαλκού”.

Αλλά και “ο Όµηρος αναφέρει στην Ιλιάδα πως ο Γλαύκος αντάλλαξε τη χρυσή του πανοπλία αξίας 100 βοδιών µε τη µπρούντζινη πανοπλία του ∆ιοµήδη αξίας 9 βοδιών”. Η τρίτη αξιοσηµείωτη καινοτοµία του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού είναι η επαναστατική αλλαγή του τρόπου επικοινωνίας µε την εδραίωση της αλφαβητικής κωδικοποίησης του γραπτού λόγου. Το νέο αυτό σύστηµα γραφής διεύρυνε αρκετά τις εκφραστικές δυνατότητες µ’ επακόλουθο να ανοίξει ένας νέος ορίζοντας αφηρηµένης σκέψης.

Και αυτό γιατί η αλφαβητική γραφή πρόβαλε µια νέα γλωσσική και γνωστική συµπεριφορά. Η συγκεκριµένη αλλαγή γίνεται φανερή όταν συγκριθούν τα εικονογραφικά, κατά βάση, συστήµατα γραφής των προ-ελληνικών πολιτισµών µε την αλφαβητική γραφή. Στην προκειµένη περίπτωση µπορεί να διαπιστωθεί ότι στα εικονογραφικά συστήµατα τα σηµαινόµενα εκφράζονται άµεσα µε την οπτική τους αναπαράσταση, ενώ στην αλφαβητική γραφή αυτό γίνεται έµµεσα, γιατί κάθε γραπτή λέξη είναι ένας συνδυασµός συµβόλων που δεν έχουν νόηµα από µόνα τους. Να σηµειωθεί ότι το ελληνικό αλφάβητο προήλθε από το φοινικικό αλφάβητο και εξελίχθηκε από τον 8ο αιώνα π.Χ. µε διάφορες τοπικές ιδιοµορφίες. Το 403 π.Χ. έγινε ένα σηµαντικό βήµα οµογενοποίησης του, όταν οι Αθηναίοι υιοθέτησαν, µε ψήφισµα, το ιωνικό αλφάβητο της Μιλήτου.

Οι τρεις αυτές καινοτοµίες αποτελούν το “γενετικό υλικό” του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού και τον επιστηµολογικό του φορέα. Ο πυρήνας αυτού του “υλικού” είναι ο έµµεσος τρόπος σκέψης. Αξίζει να αναφερθεί ένα παράδειγµα, από τα πολλά που υπάρχουν, όπου µπορεί να επισηµανθεί η πολιτισµική αξία του έµµεσου τρόπου σκέψης στην αρχαία ελληνική πραγµατικότητα και να φανεί η δηµιουργικότητά του.

Ο Παρθενώνας είναι ένα από τα χαρακτηριστικότερα σύµβολα του “ελληνικού θαύµατος”. Η ακτινοβολία του, στον κόσµο όλο, είναι πολύ µεγάλη. Γιατί, όµως; Τι είναι αυτό που προκαλεί τον υπέρµετρο θαυµασµό; Είναι µόνο ένα µνηµείο που σηµατοδοτεί µια ένδοξη περίοδο της ιστορίας του πολιτισµού; Ή αναδεικνύει µια σηµαντική ιδιαιτερότητα της κατασκευής του, που εναρµονίζεται µε την πολιτισµική και πνευµατική πρόοδο της ελληνικής κουλτούρας; Η σκοπιά αυτή δίνει τη δυνατότητα να ξεπεραστεί το επιφαινόµενο και να αποκαλυφθούν στοιχεία του καλλιτεχνικού και διανοητικού “παρασκηνίου” του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού. Και αυτό γιατί µπορεί να φωτίσει την πολιτισµική απήχηση του τρόπου σκέψης και συµπεριφοράς στις αισθητικές ευαισθησίες των αρχαίων Ελλήνων. Συγκεκριµένα ο Ικτίνος (5ος αιώνας π.Χ.), ο αρχιτέκτονας του Παρθενώνα, ήθελε να δώσει στο ναό της Ακρόπολης την εξής µορφή:

Γνώριζε, όµως, ότι αν τον κατασκεύαζε µ’ αυτό το πρότυπο, τότε το αποτέλεσµα θα είχε τις εξής οπτικές παραµορφώσεις: Για να αποφύγει τις αισθητικές αυτές ατέλειες έκανε τις εξής αντισταθµιστικές παρεµβάσεις:

Έτσι δηµιούργησε ένα αρχιτεκτόνηµα υψηλής ποιοτικής στάθµης, που οφείλεται σε µια εκλεπτυσµένη ευαισθησία και σ’ ένα βαθύ αναστοχασµό. Τα χαρακτηριστικά αυτά γίνονται φανερά όταν το εν λόγω µνηµείο συγκριθεί µε τις Πυραµίδες και τα Ζιγκουράτ. Στην περίπτωση αυτή ο Παρθενώνας ακτινοβολεί το µεγαλείο της αρµονίας και της αισθητικής ανάτασης, ενώ οι Πυραµίδες και τα Ζιγκουράτ προβάλλουν το µεγαλοπρεπές του όγκου τους.

Με άλλα λόγια, στην πρώτη περίπτωση αντανακλάται η διεισδυτικότητα του έµµεσου τρόπου σκέψης και καλλιτεχνικής στάσης, ενώ στη δεύτερη αποτυπώνεται η υπερβολή της άµεσης δύναµης και αίγλης, δηλαδή τη µεγαλοπραγµοσύνη της εξουσίας που αντιπροσωπεύει.

Μέσα στη ριζοσπαστική αλλαγή που επέφερε ο έµµεσος τρόπος σκέψης στον αρχαίο ελληνικό πολιτισµό, η µαθηµατική σκέψη δεν µπορούσε να µείνει στατική. Εκτινάχθηκε σε πολύ υψηλό επίπεδο και δηµιούργησε την πρώτη “επανάσταση” στην ιστορία των Μαθηµατικών.

Αξίζει να επισηµανθούν ότι δύο νέες συνιστώσες που επέφεραν την επιστηµολογική µεταλλαγή στη µαθηµατική σκέψη του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού ήταν η ισότητα και η απόδειξη. Όσο αφορά την πρώτη έχει επισηµανθεί η συνάφεια της µε τις πολιτισµικές διαστάσεις που εξέθρεψαν τον έµµεσο τρόπο σκέψης. Εκείνο όµως που θα πρέπει να υπογραµµισθεί είναι η απουσία της ισότητας και της λειτουργικότητάς της από την πολιτισµική και την επιστηµολογική συγκυρία της προ-ελληνικής ιστορικής πραγµατικότητας. Και αυτό γιατί οι σύγχρονοι ιστορικοί των Μαθηµατικών παραγνωρίζουν το γεγονός αυτό και παραµορφώνουν την ιστορική κατανόηση προβάλλοντας, κατά κανόνα, αναχρονιστικές ανακατασκευές.

Επίσης και η προέλευση της απόδειξης είναι στενά συνυφασµένη µε τον έµµεσο τρόπο σκέψης, γιατί αποτελεί το απαραίτητο στήριγµα για την αποδοχή των αποτελεσµάτων και των συµπερασµάτων της. Για παράδειγµα ο Θαλής δεν µπορούσε απλώς να ανακοινώσει το αποτέλεσµα των συλλογισµών και των µετρήσεων του για τον υπολογισµό του ύψους της πυραµίδας, έπρεπε να το τεκµηριώσει, διαφορετικά θα εκλαµβάνονταν ως µαγική ή µεταφυσική η ικανότητά του αυτή.

Στον άµεσο τρόπο σκέψης και συµπεριφοράς δεν τίθεται, εκ των πραγµάτων, τέτοιο ζήτηµα. Θα πρέπει, ωστόσο, να σηµειωθεί ότι η ανάπτυξη της απόδειξης στον αρχαίο ελληνικό πολιτισµό δεν ήταν ανεξάρτητη και από την καλλιέργεια της επιχειρηµατολογίας στη Ρητορική, στη Φιλοσοφία, στην πολιτική και στη δηµόσια ζωή.

Αυτή η θεώρηση της αρχαίας ελληνικής µαθηµατικής σκέψης, που δεν περιχαρακώνεται απλά στις περιγραφές των σπουδαίων επιτευγµάτων και στις αυθεντίες του συγκεκριµένου πολιτισµού, αλλά επιδιώκει την ανάδειξη της επιστηµολογικής ιδιαιτερότητας σε συνδυασµό µε τις αντίστοιχες ανθρωπολογικές µεταλλαγές, έχει ως κύριο άξονα τη µεταγνωστική προσέγγιση του θέµατος. Και αυτή η µεταγνωστική προσέγγιση µπορεί να χαρακτηριστεί ως πολιτισµικός αναστοχασµός (cultural reflexivity). Αρκετά ενδεικτική, για τον εν λόγω προβληµατισµό, είναι η εξής επισήµανση:

“Ο πρώτος ακρογωνιαίος λίθος της [επιστηµονικής ανάπτυξης] ήταν το δεύτερο επίπεδο κατανόησης (second-order concept) της απόδειξης που αναπτύχθηκε στην κλασική Ελλάδα”.

Και αυτό το δεύτερο επίπεδο κατανόησης δεν είναι άλλο παρά εκείνο της συνειδητής και συστηµατικής σκέψης σχετικά µε τη σκέψη, δηλαδή της µεταγνωστικής κατανόησης.

Ν. Καστάνη